题文

不解方程，判断下列方程根的情况 （1）x2-2x-3=0______． （2）x2-2x+3=0______． （3）2x2+3x+1=0______． （4）4x2-7x+2=0______． （5）3x（2x-1）=-7______． （6）4x（x-1）=-1______． （7） 1 2 x2- 1 3 x+1=0______． （8） 3 x(2x+1)-x=3______．

题型：填空题  难度：中档

答案

（1）∵△=（-2）2-4×（-3）=16＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根； （2）∵△=（-2）2-4×3=-8＜0， ∴原方程没有实数根； （3）∵△=32-4×2×1=1＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根； （4）∵△=（-7）2-4×4×2=17＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根； （5）方程化为一般式：6x2-3x+7=0， ∵△=32-4×6×7=-139＜0， ∴原方程没有实数根； （6）方程化为一般式：4x2-4x+1=0， ∵△=42-4×4=0， ∴原方程有两个相等的实数根； （7）方程两边乘以6得，3x2-2x+6=0， ∵△=22-4×3×6=-68＜0， ∴原方程没有实数根； （8）方程变形为：2 3 x2+（ 3 -1）x-3=0， ∵△=（ 3 -1）2-4×2 3 ×（-3）=4+22 3 ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故答案为：原方程有两个不相等的实数根；原方程没有实数根；原方程有两个不相等的实数根；原方程有两个不相等的实数根；原方程没有实数根；原方程有两个相等的实数根；原方程没有实数根；原方程有两个不相等的实数根．

据专家权威分析，试题“不解方程，判断下列方程根的情况（1）x2-2x-3=0______．（2）x2-2x+3=..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。