题文

已知关于x的方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0． （1）讨论此方程根的情况； （2）若方程有两个整数根，求正整数k的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当k=-1时，方程-4x-4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当k≠-1时，方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0是一元二次方程， △=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=（k-3）2． ∵（k-3）2≥0，即△≥0， ∴k为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．            综上，无论k取任意实数，方程总有实数根； （2）∵方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0中a=k+1，b=3k-1，c=2k-2， ∴x= 1-3k±(k-3) 2(k+1) ， ∴x1=-1，x2= 4 k+1 -2， ∵方程的两个根是整数根，且k为正整数， ∴当k=1时，方程的两根为-1，0； 当k=3时，方程的两根为-1，-1． ∴k=1，3．

据专家权威分析，试题“已知关于x的方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0．（1）讨论此方程根的情况；..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。