题文

设k是任意实数，讨论关于x的方程|x2-1|=x+k的解的个数．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当x＞或x＜-1，方程变为x2-x=1+k，则方程解的个数就是二次函数y=x2-x与直线y=1+k的交点个数， 二次函数y=x2-x的顶点（ 1 2 ，- 1 4 ），且过（0，0），（1，0）两点． 当1+k＞0，即k＞-1，二次函数y=x2-x与直线y=1+k在所在范围无交点，所以原方程无实根； 当- 1 4 ＜1+k≤0，即- 5 4 ＜k≤-1，二次函数y=x2-x与直线y=1+k在所在范围有两个交点，所以原方程有两个实根； 当1+k=- 1 4 ，即k=- 5 4 ，二次函数y=x2-x与直线y=1+k在所在范围有一个交点，所以原方程有一个实根； 当1+k＜- 1 4 ，即k＜- 5 4 ，二次函数y=x2-x与直线y=1+k无交点，所以原方程无实根． （2）当-1≤x≤1，方程变为x2+x=1-k，则方程解的个数就是二次函数y=x2+x与直线y=1-k的交点个数， 二次函数y=x2+x的顶点（- 1 2 ，- 1 4 ），且过（0，0），（-1，0）两点． 当1-k＞0，即k＜1，二次函数y=x2+x与直线y=1-k在所在范围无交点，所以原方程无实根； 当- 1 4 ＜1-k≤0，即1≤k＜ 5 4 ，二次函数y=x2+x与直线y=1-k有两个交点，所以原方程有两个实根； 当1-k=- 1 4 ，即k= 5 4 ，二次函数y=x2+x与直线y=1-k有一个交点，所以原方程有一个实根； 当1-k＜- 1 4 ，即k＞ 5 4 ，二次函数y=x2+x与直线y=1-k没有交点，所以原方程无实根． 所以当k＜- 5 4 或-1＜k＜1或k＞ 5 4 时，原方程没有实数根；当k=- 5 4 或k= 5 4 时，原方程只有一个实数根；当- 5 4 ＜k≤-1或1≤k＜ 5 4 时，原方程有两个实数根．

据专家权威分析，试题“设k是任意实数，讨论关于x的方程|x2-1|=x+k的解的个数．-数学-魔方..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。