题文

（1）求证关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根； （2）若关于x的方程x2-2 2k-3 x+3k-6=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （3）设（1）中方程的两根为a、b，若（2）中的k为整数，且以k、a、b为边的三角形恰好是一个直角三角形，试求m的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵a=1，b=m-3，c=-3m， ∴△=（m-3）2-4×1×（-3m） =m2+6m+9 =（m+3）2≥0， ∴关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根； （2）∵a=1，b=-2 2k-3 ，c=3k-6， ∴△=（-2 2k-3 ）2-4×1×（3k-6） =8k-12-12k+24 =-4k+12， ∵关于x的方程x2-2 2k-3 x+3k-6=0有两个不相等的实数根， ∴△=-4k+12＞0， 解得：k＜3； ∵2k-3≥0， ∴k≥ 3 2 ， ∴ 3 2 ≤k＜3； （3）∵x2+（m-3）x-3m=0， ∴（x+m）（x-3）=0， 解得：x1=-m，x2=3， ∴a=-m，b=3， ∵k为整数， ∴k=2， 若k2+a2=b2， 即4+（-m）2=9， ∴m=± 5 ， ∵a=-m＞0， ∴m＜0， ∴m=- 5 ， 若k2+b2=a2， 则4+9=（-m）2， 解得m=± 13 ， ∵m＜0， ∴m=- 13 ， ∴m的值为- 5 或- 13 ．

据专家权威分析，试题“（1）求证关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；（2..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。