已知关于x的方程(m-2)x2-(m-1)x+m=0.(1)请你选取一个合适的整数m,使方程有两个有理数根,并求出这两个根;(2)当m>0,且m2-2m<0时,讨论方程的实数根的情况.-数学
题文
已知关于x的方程(m-2)x2-(m-1)x+m=0. (1)请你选取一个合适的整数m,使方程有两个有理数根,并求出这两个根; (2)当m>0,且m2-2m<0时,讨论方程的实数根的情况. |
答案
(1)当m=0时,方程变形为:-2x2+x=0, 解得:x1=0,x2=
∴当m=0时,方程的两个有理根为:x1=0,x2=
(2)当m>0,且m2-2m<0时,得0<m<2,原方程为一元二次方程, ∴△=b2-4ac=[-(m-1)]2-4m(m-2), =m2-2m+1-4m2+8m, =-3m2+6m+1, =-3(m2-2m)+1, ∵m2-2m<0, ∴-3(m2-3m)>0. ∴△=b2-4ac>0, ∴此时原方程有两个不相等的实数根. |
据专家权威分析,试题“已知关于x的方程(m-2)x2-(m-1)x+m=0.(1)请你选取一个合适的整数m..”主要考查你对 一元二次方程根的判别式 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
一元二次方程根的判别式
考点名称:一元二次方程根的判别式
- 根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。
根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。 - 根的判别式有以下应用:
①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。
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