题文

九（3）班举行了一次抽签答题活动，将五个形状、大小完全相同的纸签刚在签筒中，签上分别写有一个方程：①x2+x=0②x2-1=0③x2-4x+4=0④x2-x-1=0⑤x2-x+1=0． （1）根据方程的情况填写下表： 方程的情况 有两个无理数跟   没有实数根  两根互为相反数  一根为0  两根相等 方程序号  ④         （2）小明从五个纸签中随机抽取一个，那么他抽取的方程有一根为负整数的概率是多少？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵x2+x=0的判别式=1-4×0=1＞0，x1=0，x2=-1；x2-1=0的判别式=0-4×（-1）=4＞0，x1+x2=0；x2-4x+4=0的判别式=16-4×4=0；x2-x-1=0的判别式=1-4×（-1）=5；x2-x+1=0的判别式=1-4×1=-3＜0， ∴没有实数根的是⑤；两根互为相反数的是②；一根为0的是①；两根相等的是③． 故答案为⑤、②、①、③； （2）∵方程有一根为负整数的只有①②， ∴小明从五个纸签中随机抽取一个，那么他抽取的方程有一根为负整数的概率= 2 5 ．

据专家权威分析，试题“九（3）班举行了一次抽签答题活动，将五个形状、大小完全相同的纸签..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式，概率的意义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式概率的意义

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：概率的意义

• 概率的意义：
  一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=p，概率从某种数量上刻画一个不确定事件发生的可能性的大小。
  事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P。
  事件的概率：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0<P（A）<1。
  注：（1）在n试验中，事件A发生的频率m满足0≤m≤n，所以0≤≤1，故0≤P（A）≤1；
  （2）P（A）=0表示事件A是不可能发生的事件，P（A）=1表示事件A是必然发生的事件；
  （3）概率越大，表示事件发生的可能性越大；概率越小，表示事件发生的可能性越小；
  （4）人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般大量试验事件发生的频率可作为概率的估计值。