若x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,且x1,x2都大于1.(1)求实数k的取值范围;(2)若x1x2=12,求k的值.-数学

题文

若x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若
x1
x2
=
1
2
,求k的值.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)根据题意得△=(2k+1)2-4(k2+1)≥0,
解得k≥
3
4

(2)根据题意得x1+x2=2k+1,x1?x2=k2+1,
x1
x2
=
1
2

∴x2=2x1
∴3x1=2k+1,2x12=k2+1,
∴2×(
2k+1
3
2=k2+1,
整理得k2-8k+7=0,解得k1=1,k2=7,
当k=1时,原方程为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2(不符合条件舍去),
∴k的值为7.

据专家权威分析,试题“若x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,且x1,x2..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一元二次方程根的判别式

考点名称:一元二次方程根的判别式

  • 根的判别式:
    一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
    定理1  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
    定理2  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
    定理3  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。

    根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
    定理4  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
    定理5  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
    定理6  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
    注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
    (2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
    (3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
    (4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。

  • 根的判别式有以下应用:
    ①不解一元二次方程,判断根的情况。
    ②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
    ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
    ④应用根的判别式判断三角形的形状。
    ⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
    ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
    ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
    ⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。

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