题文

考虑方程（x2-10x+a）2=b① （1）若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式． （2）若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式？说明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）把方程变形为（x2-10x+a- b ）（x2-10x+a+ b ）=0．当a=24， 得到x2-10x+24- b =0或x2-10x+24+ b =0； △1=4（1+ b ）；△2=4（1- b ）， 要保证恰有3个不同的实数x满足①式， 则△1＞0，△2=0，所以有b=1． （2）不存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．理由如下： 由（1）得x2-10x+a- b =0或x2-10x+a+ b =0，则△1=4（25-a+ b ），△2=4（25-a- b ）， 若a≥25，则有△2≤0，当△2＜0时，最多有两个不同的x满足①；当△2=0，有a=25，b=0，则△1=0，两个方程都有相同的等根5，所以只有一个x满足①．

据专家权威分析，试题“考虑方程（x2-10x+a）2=b①（1）若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。