方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根,若方程x2+2ax+k=0也有相异两实根,且其两根介于上面方程的两根之间,则k的取值范围是______.-数学
题文
方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根,若方程x2+2ax+k=0也有相异两实根,且其两根介于上面方程的两根之间,则k的取值范围是______. |
答案
∵方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根, ∴△>0,而△=4a2-4(a-4)=4(a2-a+4)=4[(a-
又∵方程x2+2ax+k=0有相异两实根, ∴△′=4a2-4k>0,即k<a2; 对于二次函数y1=x2+2ax+a-4,y2=x2+2ax+k,它们的对称轴相同,且与x轴都有两个不同得交点,要让y2与x轴两个交点都在y1与x轴两个交点之间,则要满足y2与y轴的交点在y1与y轴的交点上方,如图, 则有k>a-4, 所以k的取值范围是 a-4<k<a2. 故答案为a-4<k<a2. |
据专家权威分析,试题“方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根,若方程x2+2ax+k=0也有相异两实..”主要考查你对 一元二次方程根的判别式 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
一元二次方程根的判别式
考点名称:一元二次方程根的判别式
- 根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。
根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。 - 根的判别式有以下应用:
①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。
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