题文

抛掷红、蓝两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色和蓝色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数y=x2+mx+n的一次项系数m和常数项n的值． （1）问这样可以得到多少个不同形式的二次函数？（只需写出结果） （2）请求出抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点恰好在x轴上的概率是多少并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）根据题意知，m的值有6个，n的值有6个，所以可以得到6×6=36个不同形式的二次函数； （2）解法一：y=x2+mx+n=（x+ m 2 ）2+n- m2 4 ∵二次函数图象顶点在x轴上， ∴n- m2 4 =0， ∴m= 4n =2 n （其中n，m为1～6的整数）， 根据上式可知，当n取1～6中的完全平方数时上式才有可能成立． ∴n的值只能取完全平方数1和4， 通过计算可知，当n=1，m=2和n=4，m=4满足n- m2 4 =0， 由此抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点在x轴上的概率是 2 36 = 1 18 ； 解法二：∵二次函数图象顶点落在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点， △=m2-4n=0， ∴m= 4n =2 n （其中n，m为1～6的整数）， 根据上式可知，只有当n取1～6中的完全平方数时上式才有可能成立， ∴n的值只能取完全平方数1和4， 通过计算可知，当n=1，m=2和n=4，m=4满足△=m2-4n=0， 由此抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点在x轴上的概率是 2 36 = 1 18 ．

据专家权威分析，试题“抛掷红、蓝两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，..”主要考查你对  列举法求概率，二次函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

列举法求概率二次函数的定义

考点名称：列举法求概率

• 可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=。
  等可能条件下概率的特征：
  （1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
  （2）每一个结果出现的可能性相等。

• 概率的计算方法：
  （1）列举法（列表或画树状图），
  （2）公式法；
  列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果。
  
  列表法
  （1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
  （2）列表法的应用场合
  当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
  
  树状图法
  （1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
  （2）运用树状图法求概率的条件
  当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。