孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两-九年级数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 二次函数的图像/2019-05-20 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题:
(1)若测得 OA=OB=(如图1),求a的值;
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标;
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标。

题型:解答题  难度:偏难

答案

解:(1)设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB中点,
∵OA=OB=,∠AOB=90°,
∴AC=OC=BC=2,
∴B(2,-2)
将B(2,-2)代入抛物线y=ax2(a<0)得,a=-
(2):过点A作AE⊥x轴于点E,
∵点B的横坐标为1,
∴B(1,-),
∴BF=
又∵∠AOB=90°,易知∠AOE=∠OBF,
又∠AEO=∠OFB=90°,
∴△AEO∽△OFB,

∴AE=2OE
设点A(-m,-m2)(m>0),则OE=m,AE=m2
m2=2m,
∴m=4,即点A的横坐标为-4;
(3)设A(-m,-m2)(m>0),B(n,-n2)(n>0),
设直线AB的解析式为:y=kx+b,则
(1)×n+(2)×m得,(m+n)b=-(m2n+mn2)=-mn(m+n),
∴b=-mn
又易知△AEO∽△OFB,


∴mn=4
∴ b=-×4=-2,
由此可知不论k为何值,直线AB恒过点(0,-2)。

据专家权威分析,试题“孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线..”主要考查你对  二次函数的图像,相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

二次函数的图像相似三角形的性质

考点名称:二次函数的图像

  • 二次函数的图像
    是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
    抛物线的主要特征:
    ①有开口方向,a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
    ②有对称轴;
    ③有顶点;
    ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。

  • 二次函数图像性质:
    轴对称:

    二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
    对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
    特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
    a,b同号,对称轴在y轴左侧
    b=0,对称轴是y轴
    a,b异号,对称轴在y轴右侧

    顶点:
    二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )
    当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
    h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a。

    开口:
    二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
    当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
    |a|越大,则二次函数图像的开口越小。

  • 决定对称轴位置的因素:
    一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
    当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号
    当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
    可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。
    事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

    决定与y轴交点的因素:

    常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
    二次函数图像与y轴交于(0,C)
    注意:顶点坐标为(h,k), 与y轴交于(0,C)。

    与x轴交点个数:
    a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。
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