题文

孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得 OA=OB=（如图1），求a的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， ∵OA=OB=，∠AOB=90°， ∴AC=OC=BC=2， ∴B（2，-2） 将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，a=-， （2）：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵点B的横坐标为1， ∴B（1，-）， ∴BF= 又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF， 又∠AEO=∠OFB=90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴， ∴AE=2OE 设点A（-m，-m2）（m＞0），则OE=m，AE=m2， ∴m2=2m， ∴m=4，即点A的横坐标为-4； （3）设A（-m，-m2）（m＞0），B（n，-n2）（n＞0）， 设直线AB的解析式为：y=kx+b，则 （1）×n+（2）×m得，（m+n）b=-（m2n+mn2）=-mn（m+n）， ∴b=-mn 又易知△AEO∽△OFB， ∴， ∴， ∴mn=4 ∴ b=-×4=-2， 由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）。

据专家权威分析，试题“孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线..”主要考查你对  二次函数的图像，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像相似三角形的性质

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  
  决定与y轴交点的因素:
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
  二次函数图像与y轴交于（0,C）
  注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。
  
  与x轴交点个数：
  a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。