题文

已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M，直线分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N。 （1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标； （2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求：①a的值； ②四边形ADCN的面积； （3）在抛物线y=x2-2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）M（1，a-1），；
（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称， ∴N′， 将N′的坐标代入y=x2-2x+a得： ， ∴a1=0（不合题意，舍去），， ∴， ∴点N到y轴的距离为3， ∴，N′， ∴直线AN'的解析式为， 它与x轴的交点为， ∴点D到y轴的距离为； ∴；
（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC， ∴把N向上平移-2a个单位得到P，坐标为，代入抛物线的解析式， 得：， ∴a1=0（不合题意，舍去），， ∴， 当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分， ∴OA=OC，OP=ON， ∴P与N关于原点对称， ∴， 将P点坐标代入抛物线解析式得：， ∴a1=0（不合题意，舍去），， ∴， ∴存在这样的点或，能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形。

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M，直线分别与x..”主要考查你对  二次函数的图像，一次函数的图像，轴对称，平行四边形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像一次函数的图像轴对称平行四边形的判定

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号