题文

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 （-1，0），如图所示，B点在抛物线y=x2+x-2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3。 （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠OAC， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴BC=AC， 在△BDC和△COA中， ∠BDC=∠COA=90°，∠BCD=∠OAC，BC=AC， ∴△BDC≌△COA（AAS）； （2）∵C点坐标为 （-1，0）， ∴BD=CO=1， ∵B点横坐标为-3， ∴B点坐标为（-3，1）， 设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b， ∴ 解得 ∴BC所在直线的函数关系式为； （3）存在， ∵二次函数解析式为： ∴ ∴对称轴为直线x=-， 若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC， ∵BC⊥AC ∵点P1为直线BC与对轴称直线x=-的交点， 由题意可得：解得： ∴P1（-，-） 若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC， 则过点A作AP2∥BC，交对轴称直线x=-于点P2， ∵CD=OA ∴A（0，2） 由题意得直线AP2的解析式为：y=-x+2 解得： ∴， ∴P点坐标分别为、。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜..”主要考查你对  二次函数的图像，求一次函数的解析式及一次函数的应用，直角三角形的性质及判定，三角形全等的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像求一次函数的解析式及一次函数的应用直角三角形的性质及判定三角形全等的判定

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。