题文

孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a<0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得OA=OB=（如图1），求a的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， ∵OA=OB=，∠AOB=90°，AC=OC=BC=2， ∴B（2，-2）， 将B（2，-2）代入抛物线得，；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E， ∵点B的横坐标为1， ∴B （1，）， ∴BF=， 又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF， 又，∠AEO=∠OFB=90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴， AE=2OE， 设点A（，）（m>0）， 则，， ∴， ∴m=4， 即点A的横坐标为-4；
（3）设A（-m，）（m>0），B（n，）（n>0）， 设直线AB的解析式为：， 则， 得，， ∴， 又易知△AEO∽△OFB， ∴， ∴，， ∴， 由此可知k不论为何值，线段AB恒过点（0，-2）。

据专家权威分析，试题“孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线..”主要考查你对  二次函数的图像，图形旋转，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像图形旋转相似三角形的性质

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号