题文

如图，已知直线l：y=-x+m（m≠0）交x轴、y 轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，显然点E在y轴上，点F在直线l上；取线段EO中点N，将△ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点。记：过点F的反比例函数图象为C1，过点M且以B为顶点的二次函数图象为C2，过点P且以M为顶点的二次函数图象为C3。

（1）当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求C1、C2的函数解析式； （2）当m发生变化时，①在C1的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由； ②若C2、C3中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）①点M的坐标为（2，4），点F的坐标为（-2，8）； ②设C1的函数解析式为y=（k≠0）， ∵C1过点F（-2，8）， ∴， ∴k=-16， ∴C1的函数解析式为， ∵C2的顶点B的坐标是（0，6）， ∴设C2的函数解析式为y=ax2+6（a≠0）， ∵C2过点M（2，4）， ∴4a+6=4，a=-， ∴C2的函数解析式为； （2）依题意得，A（m，0），B（0，m）， ∴点M坐标为，点F坐标为， ①设C1的函数解析式为（k≠0）， ∵C1过点， ∴， ∵m≠0， ∴k<0， ∴在C1的每一支上，y随着x的增大而增大； ②当m>0时，满足题意的x的取值范围为， 当m<0时，满足题意的x的取值范围为。

据专家权威分析，试题“如图，已知直线l：y=-x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在..”主要考查你对  二次函数的图像，反比例函数的图像，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像反比例函数的图像求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  
  决定与y轴交点的因素:
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
  二次函数图像与y轴交于（0,C）
  注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。
  
  与x轴交点个数：
  a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
  k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
  a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
  当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
  当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
  当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。

考点名称：反比例函数的图像

• 反比例函数的图象：
  反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。