题文

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D。

（1）求b，c的值； （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积； ②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5） ∵二次函数的图像经过点A（-1，0），B（4，5） ∴ 解得：b=-2，c=-3； （2）∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5） ∴直线AB的解析式为：y=x+1 ∵二次函数 ∴设点E（t，t+1），则F（t，） ∴EF= = ∴当时，EF的最大值为 ∴点E的坐标为（，）。 （3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD 可求出点F的坐标（，）， 点D的坐标为（1，-4） S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF = =； ②（i）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，） 则有： 解得：， ∴， ； （ii）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，） 则有： 解得：，（与点F重合，舍去） ∴ 综上所述：所有点P的坐标：，， 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，..”主要考查你对  二次函数的图像，一元二次方程的解法，二次函数的最大值和最小值，直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像一元二次方程的解法二次函数的最大值和最小值直角三角形的性质及判定

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；