题文

如图，已知抛物线y=-x2+2x+3交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。

（1）求点A、B、C的坐标； （2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积； （3）连接AC，在轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形，若存地，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A，B两点 ∴-x2+2x+3=0， 解得x1=3，x2=-1 ∴点A（-1，0），B（3，0） 又∵抛物线y=-x2+2x+3交y轴于点C， ∴点C（0，3）。
（2）∵抛物线y=-x2+2x+3的定点为M ∴ ∴M（1，4） ∴过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1， ∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3 ∴S△BCM=S△BOC=3。
（3）存在点P i）以AC为腰： ①当以点A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P1，P2（P1在P2的右侧） ∴P1O=+1，P2O=-1 ∴ ②以点C为圆心，AC为半径画弧交x轴于点P3 ∴点P3与点A关于y轴对称，则点P3坐标为（1，0）， ii）以AC为底边：作AC的垂直平分线交x轴于点P4，垂足为F， 则AF= ∵∠AFP4=∠AOC=90°，∠CAO=∠P4AF ∴△AOC∽△AFP4 ∴ ∴ ∴AP4=5 ∴OP4=5-1=4 ∴P4（4，0） ∴点P的坐标为：P1（-1，0），P2（--1，0）， P3（1，0），P4（4，0）。

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线y=-x2+2x+3交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与..”主要考查你对  二次函数的图像，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  
  决定与y轴交点的因素:
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
  二次函数图像与y轴交于（0,C）
  注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。
  
  与x轴交点个数：
  a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
  k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
  a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
  当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
  当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
  当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。