题文

已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒。 （1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）。 ①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标； ②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值； （2）当k=-时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2）。 ①求CD的长； ②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）①C（1，2），Q（2，0）； ②由题意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）， 分两种情况讨论： 情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°， ∴CQ⊥OA， ∵CP⊥OA， ∴点P与点Q重合，OQ=OP， 即3-t=t， ∴t=1.5； 情形二：当△AQC∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°， ∵OA=OB=3， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴△ACQ也是等腰直角三角形， ∵CP⊥OA， ∴AQ=2CP， 即t=2（-t+3）， ∴t=2， ∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒；
（2）①由题意得：C（t，-） ∴以C为顶点的抛物线解析式是y=， 由， 解得， 过点D作DE⊥CP于点E， 则∠DEC=∠AOB=90°， ∵DE∥OA， ∴∠EDC=∠OAB， ∴△DEC∽△AOB ∴ ∵AO=4，AB=5，DE= ∴CD=； ②∵， CD边上的高=， ∴， ∴S△COD为定值， 要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短， 因为当OC⊥AB时OC最短， 此时OC的长为，∠BCO=90° ∵∠AOB=90° ∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA 又∵CP⊥OA ∴Rt△PCO∽Rt△OAB ∴，OP=， 即t= ∴当t为秒时，h的值最大。

据专家权威分析，试题“已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；