题文

如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M.已知点C的坐标是（-4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点。

（1） 求此抛物线的解析式及点M的坐标； （2） 在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）因为抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（-2，2） 故设其解析式为y=ax2+1， 则有，2=（-2）2a+1，得a=， 所以此抛物线的解析式为：y=， 因为四边形OABC是平形四边形， 所以AB=OC=4，AB∥OC， 又因为y轴是抛物线的对称轴， 所以点A与B是抛物线上关于y轴的对称点， 则MA=MB=2，即点A的横坐标是2 ， 则其纵坐标=2，即点A（2，2），故点M（0，2）；
（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H， 则∠QHP=∠MOC=90°， 因为PQ∥CM， 所以所以ΔPQH∽ΔCMO， 所以，即， 而，所以， 所以；
（3）设ΔABQ的边AB上的高为h，因为， 所以，所以h=2， 所以点Q的纵坐标为4，代入，得， 因此，存在符合条件的点Q，其坐标为（2，4）或（-2，4）。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，三角形的周长和面积，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用三角形的周长和面积相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁