题文

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）。 （1）求抛物线的解析式； （2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE； （3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设抛物线解析式为， 将A、B、C三点坐标代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）证明：设直线AC的解析式为， 将A、C两点坐标代入，得，解得， ∴直线AC的解析式为， ∵， ∴D（4，-2），E（4，4）， ∵F与E关于D对称， ∴F（4，-8）， 则直线AF的解析式为，CF的解析式为， ∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（，0），（，0）， ∵4--4， ∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称， ∴∠CFE=∠AFE； （3）存在，设P（0，d），则由点P在点A下方，得AP=6-d ，AF=， FD=-2-（-8）=6，CF=， 当△AFP∽△FDC时，，即，解得d=； 当△AFP∽△FCD时，，即，解得d=-2， ∴P点坐标为（0，）或（0，-2）。

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）。（1）求抛物线的解..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；