题文

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S。

（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是____；当t=3时，正方形EFGH的边长是____； （2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式； （3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）2；4； （2）求点H在AC上时t的值（如图1） ∵EP=PF=1·t=t， ∴正方形EFGH中，HE=EF=2t， 又∵AP=2， ∴AE=AP-EP=2-t， 又∵EFGH是正方形， ∴∠HEA=∠C=90°， 又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△AHC， ∴，即， ∴， 求点G在AC上时t的值（如图2） 又∵EP=PF=1·t=t， ∴正方形EFGH中，GF=EF=2t 又∵AP=2， ∴AF=AP+PF=2+t， 仿上有，△ABC∽△AGF， ∴，即， ∴， 因此，0＜t≤2分为三部分讨论： ①当0＜t≤时（如图3），S与t的函数关系式是： ； ②当时（如图4），S与t的函数关系式是： =； ③当时（如图5），求S与t的函数关系式是： S=S△ARF=S△AQE=·（2+t）2-×（2-t）2=3t， 综上所述，S与t的函数关系式为： S=， （3）当时，S最大，最大面积是。

据专家权威分析，试题“如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，正方形，正方形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用正方形，正方形的性质，正方形的判定相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。