题文

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C）（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等。

（1）求实数a、b、c的值； （2）若点M、M同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMA沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、N、Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由题意，得，解之得；
（2）由（1）得， 当y=0时，x=-3或x=1， ∴B（1，0），A（-3，0），C（0，）， ∴OA=3，OB=1，OC=， 易求AC=2，BC=2，AB=4， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠ABC=60°， 又由BM=BN=PN=PM知四边形PMBN为菱形， ∴PN∥AB， ∴即， ∴， 过P作PE⊥AB于E，在Rt△PEM中，∠PME=∠B=60°，， ∴，， 又OM=BM-OB=，故OE=1， ∴；
（3）由（1）、（2）知抛物线的对称轴为直线x=-1，且∠ACB=90°， ①若∠BQN=90°， ∵BN的中点到对称轴的距离大于1， 而， ∴以BN为直径的圆不与对称轴相交， ∴∠BQN≠90° 即此时不存在符合条件的Q点； ②若∠BNQ=90°， 当∠NBQ=60°，则Q、E重合，此时∠BNQ≠90°； 当∠NBQ=30°，则Q、P重合，此时∠BNQ≠90°， 即此时不存在符合条件的Q点； ③若∠QBN=90°，延长NM交对称轴于点Q，此时，Q为P关于x轴的对称点， ∴为所求。

据专家权威分析，试题“如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，菱形，菱形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用菱形，菱形的性质，菱形的判定相似三角形的判定解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；