题文

已知二次函数y=mx2-mx+n的图象交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜x2，交y轴的负半轴于C点，且AB=5，AC⊥BC，求此二次函数的解析式．

题型：解答题  难度：中档

答案

根据题意可知：m＞0，n＜0，且A、B分别在原点两侧． 根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2= n m ． ∵AB=5，∴|x2-x1|=5；即（x1+x2）2-4x1x2=25， ∴x1x2=-6，即 n m =-6．① ∵AC⊥BC，OC⊥x轴， ∴OC2=OA?OB，即n2=-x1x2=6，② 联立①、②得： n m =-6 n2=6 ，解得 m= 6 6 n=- 6 ； 即抛物线的解析式为：y= 6 6 x2- 6 6 x- 6 ．

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=mx2-mx+n的图象交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，x..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax