题文

德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n= n(n+1) 2 ． 这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下： 在“平方公式”（a+b）2=a2+2ab+b2中， 取b=1，得2a+1=（a+1）2-a2．…（*） 在（*）中分别取a=1，2，3，…，n，再左右分别相加，得2（1+2+3+…+n）+n×1=（22-12）+（32-22）+（42-32）+…+[n2-（n-1）2]+[（n+1）2-n2]=（n+1）2-1=n2+2n． 即1+2+3+…+n= n(n+1) 2 ．现在请你利用“立方公式”（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3来推导12+22+32+…+n2的计算公式，要求写出推算过程．注：可以利用已推导的公式1+2+3+…+n= n(n+1) 2 ．

题型：解答题  难度：中档

答案

在立方公式中，取b=1得（a+1）3-a3=3a2+3a+1， 依次取a=1，2，3，…，n-1，n得 23-1=3×12+3×1+1，33-23=3×22+3×2+1，43-33=3×32+3×3+1，…（n+1）3-n3=3×n2+3n+1， 将以上n个式子相加，得（n+1）3-1=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n， ∴12+22+32+…+n2= (n+1)3-1-3(1+2+3+…+n)-n 3 = n(n+1)(2n+1) 6 ．

据专家权威分析，试题“德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n..”主要考查你对  有理数的乘除混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数的乘除混合运算

考点名称：有理数的乘除混合运算

• 有理数的乘除混合运算：
  可统一化为乘法运算，在进行乘除运算时，一般地，遇除化乘，转化为有理数的乘法进行计算。

• 乘除混合运算需要掌握：
  1.由负因数的个数确定符号；
  2.小数化成分数，带分数化成假分数；
  3.除号改成称号，除号改成倒数，变成连乘形式；
  4.进行约分；
  5.注意运算顺序，乘除为同级运算，要遵守从左到右的顺序计算；
  6.转化为乘法后，可运用乘法运算律简化运算。