题文

如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴 、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； （3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当点A在原点时，如图1，AC在y轴上，BC⊥y轴， 所以点B的坐标是（2，2）．        （2）当OA=OC时，如图2， △OAC是等腰直角三角形，AC=2， 所以∠OAC=∠OCA=45°，OA=OC= 2 ， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2， ∴AB= AC2+BC2 = 22+22 =2 2 ，∠CAB=45°， ∴∠OAB=∠CAB+∠OAC=45°+45°=90°， ∴OB= (2 2 )2+( 2 )2 = 10 ． （3）如图3， 取AC的中点E，连接OE，BE． 在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线， 所以OE= 1 2 AC=1， 在△ACB中，BC=2，CE= 1 2 AC=1， 所以BE= 5 ； 若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=1+ 5 ． 若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=1+ 5 ， 所以当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为1+ 5 ．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=..”主要考查你对  直线，线段，射线，直角三角形的性质及判定，勾股定理，用坐标表示位置  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直线，线段，射线直角三角形的性质及判定勾股定理用坐标表示位置

考点名称：直线，线段，射线

• 基本概念：
  直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。一条直线可以用一个小写字母表示。
  线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
  射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。