题文

这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了． （1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示） （2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程．） （3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗？为解决这个问题，我们先来看下面的解题过程：用分数表示无限循环小数：． 解：设①．等式两边同时乘以10，得10x=②． 将②﹣①得：9x=2， 则． ∴请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1 ）第64 个格子，应该底数是2 ，指数63 ，所以为263 ； （2 ）∵21=2 ，22=4 ，23=8 ，24=16 ，25=32 … ∵63 ÷4=20 …3 ， ∴263 的末位数字与23 的末位数字相同，是8 ； （3 ）设x=1+2+22+ …+263 ①． 等式两边同时乘以2 ，得2x=2+22+23+ …+264 ② ②- ①，得x=264-1 ． 答：国王输给阿基米德的米粒数为264-1 ．

据专家权威分析，试题“这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基..”主要考查你对  有理数的乘方  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数的乘方

考点名称：有理数的乘方

• 有理数乘方的定义：
  求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
  2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
  ①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
  ②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

• 乘方的性质：
  乘方是乘法的特例，其性质如下：
  （1）正数的任何次幂都是正数；
  （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
  （3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
  （4）a²是一个非负数，即a²≥0。

• 有理数乘方法则：
  ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
  ②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0
  
  点拨：
  ①0的次幂没意义；
  ②任何有理数的偶次幂都是非负数；
  ③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
  ④负数的乘方与乘方的相反数不同。

• 乘方示意图：