题文

在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况： ①已知a和b，求N，这是乘方运算； ②已知b和N，求a，这是开方运算； 现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算． 定义：如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作b=logaN． 例如：求log28，因为23=8，所以log28=3；又比如∵2-3= 1 8 ，∴log2 1 8 =-3． （1）根据定义计算： ①log381=______；②log101=______；③如果logx16=4，那么x=______． （2）设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）， ∵ax?ay=ax+y，∴ax+y=M?N∴logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN 这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：logaM1M2M3…Mn=______． （其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数，a＞0，a≠1）． （3）请你猜想：loga M N =______（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①因为34=81，所以log381=4；②因为100=1，所以log101=0；③因为24=16，所以x=2． （2）结合题意的分析，可知logaM1M2M3…Mn=logaM1+logaM2+…+logaMn． （3）因为logaMN=logaM+logaN，所以可猜想：loga M N =logaM-logaN（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．

据专家权威分析，试题“在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这..”主要考查你对  有理数的乘方，零指数幂（负指数幂和指数为1）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数的乘方零指数幂（负指数幂和指数为1）

考点名称：有理数的乘方

• 有理数乘方的定义：
  求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
  2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
  ①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
  ②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

• 乘方的性质：
  乘方是乘法的特例，其性质如下：
  （1）正数的任何次幂都是正数；
  （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
  （3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
  （4）a²是一个非负数，即a²≥0。

• 有理数乘方法则：
  ①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
  ②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0
  
  点拨：
  ①0的次幂没意义；
  ②任何有理数的偶次幂都是非负数；
  ③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
  ④负数的乘方与乘方的相反数不同。

• 乘方示意图：
  

考点名称：零指数幂（负指数幂和指数为1）

• 零指数幂定义：任何不等于零的数的零次幂都等于1。
  负指数幂的定义：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。
  指数为1：任何不等于零的数的1次幂，所得结果都等于这个数的本身。