题文

黑板上有三个正整数a、b、c（不计顺序）．允许进行如下的操作：擦去其中的任意一个数，写上剩下的两个数的平方和．如：擦去a，写上b2+c2，这次操作完成后，黑板上的三个数为b、c、b2+c2．问： （1）当黑板上的三个数分别为1，2，3时，能否经过有限次操作使得这三个数变为56，57，58（不计顺序）．若能，请给出操作方法；若不能，请说明理由； （2）是否存在三个小于2000的正整数a、b、c，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2007．若能，写出正整数a、b、c，并给出操作方法；若不能，请说明理由； （3）是否存在三个小于2000的正整数a、b、c，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2008．若能，写出正整数a、b、c，并给出操作方法；若不能，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）不能； 当黑板上的三个数为1、2、3时，不论进行哪种操作都不能改变3个数的奇偶性，即三个数必为2个奇数1个偶数， 因此不能变为56、57、58． （2）不能； 若能，则2007一定可以表示为两个正整数的平方和，即2007=m2+n2（m，n为正整数）． 又任意一个自然数m，必有m2≡0（mod4）或m2≡1（mod4）， 所以m2+n2≡0（mod4）或m2+n2≡1（mod4）或m2+n2≡2（mod4），而2007≡3（mod4）， 因此不可能． （3）不能； 若能，由（2）知，因为2008≡0（mod4），不妨设2008=（2m）2+（2n）2（其中m、n为正整数）， 因此m2+n2=502．又任意一个自然数m，必有m2≡0（mod8）或m2≡1（mod8）， 所以m2+n2≡0（mod8）或m2+n2≡1（mod8）或m2+n2≡2（mod8），而502≡6（mod8）， 因此不可能．

据专家权威分析，试题“黑板上有三个正整数a、b、c（不计顺序）．允许进行如下的操作：擦去其..”主要考查你对  有理数的混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数的混合运算

考点名称：有理数的混合运算

• 有理数的混合运算：
  是一个运算式子中有加有减有乘有除有次方等运算方式的混合运算方式。

• 有理数混合运算的规律：
  （1）先乘方，再乘除，最后加减；
  （2）同级运算，从左到右进行；
  （3）若有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算。