题文

在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

题型：证明题  难度：偏难

答案

证明：延长AM至A'，使AM=MA'，连结BA'，如图 ∠A'BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴PQ∥AB

据专家权威分析，试题“在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，A..”主要考查你对  平行线的判定，平行线分线段成比例  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的判定平行线分线段成比例

考点名称：平行线的判定

• 平行线的概念：
  在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
  注意：
  ①平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
  ②当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

• 平行线的判定平行线的判定公理：
  （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。
  （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。
  （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。
  还有下面的判定方法：
  （1）平行于同一条直线的两直线平行。
  （2）垂直于同一条直线的两直线平行。
  （3）平行线的定义。

  判定方法的逆应用：
  在同一平面内，两直线不相交，即平行。
  两条直线平行于一条直线，则三条不重合的直线互相平行。
  两直线平行，同位角相等。
  两直线平行，内错角相等。
  两直线平行，同旁内角互补。
  6a⊥c，b⊥c则a∥b。

考点名称：平行线分线段成比例

• 平行线分线段成比例定理：
  三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
  推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
  定理推论：
  ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
  ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

• 证明思路:
  该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点
  
  法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。
  
  AM=DP，AN=DQ
  AB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/AN
  DE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ
  又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF
  根据比例的性质：
  AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)
  ∴AB/BC=DE/EF
  
  法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.
  
  ∵ BE∥CF
  ∴△ABM∽△ACN.
  ∴AB/AC=AM/AN
  ∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)
  ∴AB/BC=DE/EF
  
  法3：连结AE、BD、BF、CE
  
  根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF
  ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
  根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：
  AB/BC=DE/EF
  由更比性质、等比性质得：
  AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF