如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△ABC≌△DCB.求证:(1)OC=OB(2)AD∥BC.-数学

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题文

如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△ABC≌△DCB.
求证:(1)OC=OB
      (2)AD∥BC.

题型:解答题  难度:中档

答案



(1)∵△ABC≌△DCB,
∴∠1=∠2,AB=CD,
∵∠AOB=∠DOC,
∴∠3=∠4,
在△AOB与△DOC中,

∠1=∠2
AB=CD
∠3=∠4

∴△AOB≌△DOC,
∴OC=OB;

(2)∵△ABC≌△DCB,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,OA=OD,OB=OC,
∴∠CAD=∠BDA,∠OBC=∠OCB,
∴∠1+∠CAD=∠2+∠BDA,∠3+∠OBC=∠4+∠OCB,即∠BAD=∠CDA,∠ABC=∠BCD,
∵四边形的内角和是360°,
∴∠BAC+∠ABC=180°,
∴AD∥BC.

据专家权威分析,试题“如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△ABC≌△DCB.求证:(1)O..”主要考查你对  平行线的判定,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

平行线的判定等腰三角形的性质,等腰三角形的判定全等三角形的性质

考点名称:平行线的判定

  • 平行线的概念
    在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
    注意:
    ①平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
    ②当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。

  • 平行线的判定平行线的判定公理:
    (1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。简称:同位角相等,两直线平行。
    (2)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。简称:内错角相等,两直线平行。
    (3)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。简称:同旁内角互补,两直线平行。
    还有下面的判定方法:
    (1)平行于同一条直线的两直线平行。
    (2)垂直于同一条直线的两直线平行。
    (3)平行线的定义。

    判定方法的逆应用:
    在同一平面内,两直线不相交,即平行。
    两条直线平行于一条直线,则三条不重合的直线互相平行。
    两直线平行,同位角相等。
    两直线平行,内错角相等。
    两直线平行,同旁内角互补。
    6a⊥c,b⊥c则a∥b。

考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

  • 定义:
    有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质:
    1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
    2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
    7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定:
    1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
    3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称:全等三角形的性质

  • 全等三角形:
    两个全等的三角形,而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换,两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称,或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时,该两个三角形就是全等三角形。正常来说,验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证,最后便能得出结果。
    全等三角形的对应边相等,对应角相等。
    ①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
    ②全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
    ③有公共边的,公共边一定是对应边;
    ④有公共角的,角一定是对应角;
    ⑤有对顶角的,对顶角一定是对应角。

  • 全等三角形的性质:
    1.全等三角形的对应角相等。
    2.全等三角形的对应边相等。
    3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
    4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
    5.全等三角形的对应边上的中线相等。
    6.全等三角形面积相等。
    7.全等三角形周长相等。
    8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

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