题文

如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化. 若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系又是如何？

题型：解答题  难度：中档

答案

解：若P 点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD， 理由是：过点P 作PE ∥l1，则∠APE＝∠PAC， 又因为l1∥l2， 所以PE ∥l2， 所以∠BPE ＝∠PBD， 所以∠APE+∠BPE ＝∠PAC+∠PBD ， 即∠APB＝∠PAC+∠PBD， 若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形： （1 ）如图1，有结论：∠APB ＝∠PBD －∠PAC， 理由是：过点P 作PE ∥l1，则∠APE＝∠PAC， 又因为l1∥l2， 所以PE ∥l2， 所以∠BPE ＝∠PBD， 所以∠APB ＝∠BAE+∠APE， 即∠APB＝∠PBD－∠PAC； （2）如图2，有结论：∠APB ＝∠PAC －∠PBD， 理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE ＝∠PBD， 又因为l1∥l2， 所以PE∥l1， 所以∠APE ＝∠PAC， 所以∠APB＝∠APE+∠BPE， 即∠APB＝∠PAC+∠PBD。

据专家权威分析，试题“如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。