题文

如下图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合。记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3。 （1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2； （2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系； （3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明； （4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2， 由两直线平行，内错角相等，可得： ∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPE+∠QPF， ∴∠3=∠1+∠2。 （2）∠3=∠2﹣∠1； 证明：过P作直线PQ∥l1∥l2， 则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPF﹣∠QPE， ∴∠3=∠2﹣∠1。 （3）∠3=360°﹣∠1﹣∠2。 证明：过P作PQ∥l1∥l2； 同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°， 即∠3=360°﹣∠1﹣∠2。 （4）过P作PQ∥l1∥l2； ①当P在C点上方时， 同（2）可证：∠3=∠DFP﹣∠CEP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0， 即∠3=∠1﹣∠2。 ②当P在D点下方时， ∠3=∠2﹣∠1，解法同上。 综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1﹣∠2， 当P在D点下方时，∠3=∠2﹣∠1。

据专家权威分析，试题“如下图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理，三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理三角形的外角性质

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。
  

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。