题文

如图，直线AC ∥BD ，联结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①，②，③，④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，联结PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．   (1) 如图(a) ，当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB= ∠PAC+ ∠PBD  (2) 当动点P 落在第②部分时，∠APB= ∠PAC+ ∠PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）?   (3) 当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明

题型：解答题  难度：中档

答案

解：(1)过P作直线PQ平行于AC． 因为PQ∥AC，AC∥BD， 所以PQ∥BD， 所以∠PAC=∠APQ，∠PBD=∠BPQ. 又因为∠APQ+∠BPQ=∠APB， 所以∠PAC+∠PBD=∠APB (2)不成立 (3)当P在BA延长线左侧时，∠APB=∠PAC-∠PBD； 当P在BA延长线上时不成立关系； 当P在BA延长线右侧时，∠APB=∠PBD-∠PAC 证明：当P在BA延长线右侧时， 过P做直线PQ平行于AC， 因为PQ∥AC，AC∥BD， 所以PQ∥BD， 所以∠PAC=∠QPA， ∠PBD=∠BPQ, ∠APB=∠BPQ-∠QPA=∠PBD-∠PAC

据专家权威分析，试题“如图，直线AC∥BD，联结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①，②，③..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。