题文

已知直线l1∥l2，且l3、l4和l1、l2分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在AB上．设∠ADP=∠1，∠DPC=∠2，∠BCP=∠3 （1）探究∠1、∠2、∠3之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由． 解：过点P作PE∥l1 ∵PE∥l1（已作） ∴∠1=∠DPE（_________） ∵PE∥l1，l1∥l2（已知） ∴PE∥l2（_________） ∴∠3=∠EPC（_________） ∵∠2=∠DPE+∠EPC ∴∠2=∠1+∠3（_________） （2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？ （3）如果点P在A、B两点外侧运动时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）．

题型：探究题  难度：中档

答案

解：（1）过点P作PE∥l1 ∵PE∥l1（已作） ∴∠1=∠DPE（两直线平行，内错角相等） ∵PE∥l1，l1∥l2（已知） ∴PE∥l2（平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠3=∠EPC（两直线平行，内错角相等） ∵∠2=∠DPE+∠EPC ∴∠2=∠1+∠3（等量代换） （2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化，仍是∠2=∠1+∠3． （3）如果点P在A、B两点外侧运动时，如图，可猜想∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1=∠2+∠3．

证明：如图，过点P作PE∥l1 ∵PE∥l1（已作） ∴∠1=∠DPE（两直线平行，内错角相等） ∵PE∥l1，l1∥l2（已知） ∴PE∥l2（平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠3=∠EPC（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠DPC+∠EPC ∴∠1=∠2+∠3（等量代换）． 当P在A的上边时，同理可得∠3=∠1+∠2．

据专家权威分析，试题“已知直线l1∥l2，且l3、l4和l1、l2分别交于A、B和C、D两点，（如图..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。