题文

如图：已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、CD和AD、CD分别相交于点． （1）猜想AC和BD间的关系是什么？ （2）试用理由说明你的猜想．（本题将按正确结论的难易程度给分）

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）答：AC与BD互相平分，且AC=BD， （2）证明：∵MN∥PQ， ∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC， ∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ， ∴∠BAC= 1 2 ∠MAC、∠DCA= 1 2 ∠ACQ， 又∵∠MAC=∠ACQ，∴∠BAC=∠DCA， ∴AB∥CD， ∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC， ∴∠BCA= 1 2 ∠ACP、∠DAC= 1 2 ∠NAC， 又∵∠ACP=∠NAC， ∴∠BCA=∠DAC， ∴AD∥CB， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD平行四边形， ∵∠BAC= 1 2 ∠MAC，∠ACB= 1 2 ∠ACP， 又∵∠MAC+∠ACP=180°， ∴∠BAC+∠ACP=90°， ∴∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形．

据专家权威分析，试题“如图：已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、CD和AD、CD分别相交于点．（..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理，矩形，矩形的性质，矩形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理矩形，矩形的性质，矩形的判定

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。
  

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

• 矩形:
  是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

• 矩形的性质：
  1．矩形的4个内角都是直角；
  2．矩形的对角线相等且互相平分；
  3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
  4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
  5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
  6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

• 矩形的判定：
  ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
  ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
  ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
  ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
  矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

• 黄金矩形:
  宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
  黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。