题文

如图，在等腰梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，BD⊥AD． （1）求∠A的度数． （2）设AD=2cm，求梯形ABCD的面积．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵AD=BC=DC， ∴∠CDB=∠CBD， ∵DC∥BA， ∴∠CDB=∠DBA， ∴∠CBA=2∠DBA， ∵DC∥AB，AD=BC， ∴∠A=∠ABC=2∠DBA， ∵DB⊥AD， ∴∠ADB=90°， ∴∠A= 2 3 ×90°=60°， 答：∠A=60°． （2）作DE⊥AB于E， ∵∠A=60°，∠DEA=90°， ∴∠ADE=30°， ∴AE= 1 2 AD=1cm， 由勾股定理得：DE= 3 cm， 同理AB=2AC=4cm， ∴梯形ABCD的面积是 1 2 （CD+AB）×DE= 1 2 ×（2cm+4cm）× 3 cm=3 3 cm2， 答：梯形ABCD的面积是3 3 cm2．

据专家权威分析，试题“如图，在等腰梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，BD⊥AD．（1）求∠A的度数..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理，三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理三角形的内角和定理直角三角形的性质及判定等腰三角形的性质，等腰三角形的判定梯形，梯形的中位线

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。
  

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：直角三角形的性质及判定

• 直角三角形定义：
  有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
  

• 直角三角形性质：
  直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
  性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
  性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
  性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
  性质5:
  
  如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
  （1）（AD)2=BD·DC。
  （2）（AB)2=BD·BC。
  （3）（AC)2=CD·BC。
  性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。