题文

如图，AB∥CD，在AB与CD之间任意找一点E，连接AE，CE（说明：AB，CD都为线段），自己画出图形并探索下面问题： （1）试问∠AEC与∠C有何种关系？请猜想并给出证明． （2）当E点在平行线AB，CD的外部时，上一问的结论是否仍然成立？画图探索并予以证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

如图所示， （1）∠AEC=∠A+∠C． 证明：过点E作EF∥AB， ∴∠1=∠A； 又已知AB∥CD， ∴EF∥CD（平行公理）， ∴∠2=∠C； 又∵∠AEC=∠1+∠2， ∴∠AEC=∠A+∠C． （2）不成立，结论应是∠A=∠AEC+∠C或∠C=∠AEC+∠A． 证明：如果E在CD下方，过E作EM∥AB∥CD， 那么可得出∠A=∠AEM，∠C=∠MEC， ∵∠AEM=∠AEC+∠MEC， ∴∠A=∠AEC+∠C， 如果E在AB上方，证法同上，可得出的结论是∠C=∠AEC+∠A． 当点E在点A和点C左侧时∠A+∠AEC+∠C=360°．

据专家权威分析，试题“如图，AB∥CD，在AB与CD之间任意找一点E，连接AE，CE（说明：AB，CD..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。