题文

已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C的度数； （2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； （3）如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∵∠A=20°， ∴∠APO=∠A=20°，∠C=∠CPO， ∵∠APC=70° ∴∠C=∠CPO=∠APC-∠APO=70°-20°=50°； （2）∠A+∠C=∠APC， 证明：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO， ∴∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C； （3）不成立，关系式是：∠A-∠C=∠APC， 理由是：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO， ∴∠A-∠C=∠APO-∠CPO=∠APC， 即∠A-∠C=∠APC．

据专家权威分析，试题“已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A=20°..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。