题文

如图，ΔABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心、OB为半径作⊙O交AB于点D。已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C。

（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明。 （2）若ΔACB∽ΔCDB，且AC=3，求圆心O到直线AB的距离。

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）解：CD与AC互相垂直。 证明：连结OD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，         ∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠A=∠ODB，         ∴OD∥AC，        ∵⊙O与直线CD相切，∴CD⊥OD，         ∴CD⊥AC； （2）解：∵ ΔACB∽ΔCDB且AC=BC，                ∴CD=DB ，∴∠A=∠B=∠DCB，              又∵∠A+∠B+∠DCB+∠ACD=180°，∠ACD=90°，               ∴∠A=∠B=∠DCB=30°，             在RtΔACD和RtΔCDO中，OD=CD·tan∠DCB， CD=AC·tan∠A，            ∴OB=OD= AC·tan∠A·tan∠DCB=         过点O作OE⊥AB于E，则OE=OB=，           即圆心O到直线AB的距离为。

据专家权威分析，试题“如图，ΔABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心、OB为半径作⊙O交AB于点..”主要考查你对  垂直的判定与性质，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），相似三角形的性质，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

垂直的判定与性质直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）相似三角形的性质解直角三角形

考点名称：垂直的判定与性质

• 垂线的定义：
  两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
  直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
  垂线的性质：
  性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
  性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
  垂直的判定：垂线的定义。

考点名称：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

• 直线与圆的位置关系:
  直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
  （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；
  （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。
  （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。（d为圆心到直线的距离）

• 直线与圆的三种位置关系的判定与性质：
  （1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，
  如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
  直线l与⊙O相交d<r；
  直线l与⊙O相切d=r；
  直线l与⊙O相离d>r；
  （2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
  直线l与⊙O相交d<r2个公共点；
  直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；
  直线l与⊙O相离d>r无公共点 。
  
  圆的切线的判定和性质   
  （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
  （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
  
  切线长：
  在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
  切线长定理：
  从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

• 直线与圆的位置关系判定方法:
  平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
  1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
  如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
  如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
  如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
  
  2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x