题文

如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=，AO=2，OB=1。

（1）AC，BD互相垂直吗？为什么？ （2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？ （3）求四边形ABCD的面积。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）AC，BD互相垂直；              因为在△AOB中，∵AB=，AO=2，OB=1.              AB2=()2=5， AO2+OB2=22+12=5            ∴AB2= AO2+OB2          ∴△AOB为直角三角形，即∠AOB=90°           因此AC，BD互相垂直； （2）四边形ABCD是菱形。    因为平行四边形ABCD中，由(1)可知AC，BD互相垂直所以四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； （3）求四边形ABCD的面积。       平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=，AO=2，OB=1.       ∴AC=2AO=4，BD=2      四边形ABCD的面积为=        因此.四边形ABCD的面积是4。

据专家权威分析，试题“如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=，AO..”主要考查你对  垂直的判定与性质，菱形，菱形的性质，菱形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

垂直的判定与性质菱形，菱形的性质，菱形的判定

考点名称：垂直的判定与性质

• 垂线的定义：
  两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
  直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
  垂线的性质：
  性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
  性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
  垂直的判定：垂线的定义。

考点名称：菱形，菱形的性质，菱形的判定

• 菱形的定义:
  在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

• 菱形的性质:
  ①菱形具有平行四边形的一切性质；
  ②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；
  ③菱形的四条边都相等；
  ④菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其重心，即两对角线的交点）；
  ⑤在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。

• 菱形的判定:
  在同一平面内，
  （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
  （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
  （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
  菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
  菱形的面积：S_菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。