题文

如图，在△ABC中，AB=AC，在AC上取一点E，在BA的延长线上取一点D，使AD=AE，连接DE并延长交BC于F。 求证：DF⊥BC。 若把条件“AD=AE”与结论“DF⊥BC”互换，是否还成立，试证之。 若把条件“AB=AC”与结论“DF上BC”互换呢？

题型：证明题  难度：偏难

答案

证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵AD=AE， ∴∠D=∠AED， ∴∠ABC+∠D=∠ACB+∠AED， ∴∠ABC+∠D=∠ACB+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°×= 90°， ∴DF⊥BC； 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。 ∵DF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∴∠C+∠CEF=∠B+∠D=90° ， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠D=∠DEA ∴AD=AE； 若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=AC，在AC上取一点E，在BA的延长线上取一点D，..”主要考查你对  垂直的判定与性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

垂直的判定与性质

考点名称：垂直的判定与性质

• 垂线的定义：
  两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
  直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
  垂线的性质：
  性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
  性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
  垂直的判定：垂线的定义。