题文

△ABC中，∠BAC=∠ACB。 （1）如图，E是AB延长线上一点，连接CE，∠BEC的平分线交BC于点D，交AC于点P，求证：∠CPD=90°-∠BCE；（2）若E是射线BA上一点（E不与A、B重合），连接CE，∠BEC的平分线所在直线交BC于点D，交CA所在直线于点P，∠CPD与∠BCE有什么关系？请画出图形，给出你的结论，并说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵EP平分∠BEC， ∴∠BEP=∠CEP．△ACE中，∠A+∠ACE+∠AEC=180°， ∵∠ACE=∠ACB+∠BCE，且∠A=∠ACB， ∴2∠A+2∠BEP+∠BCE=180°， ∴2（∠A+∠BEP）+∠BCE=180°， ∵∠CPD=∠A+∠BEP， ∴2∠CPD+∠BCE=180°， ∴∠CPD=90°-∠BCE； （2）结论：∠CPD=∠BCE， 理由如下：解：设∠CAB=∠ACB=α， ∵ED平分∠BEC，∴∠BED=∠CED， 设∠BED=∠CED=β， 则∠CEB=2β， 分两种情况：i）若点E在BA上（E不与A、B重合， 如图，∵∠ACE=∠ACB-∠BCE， ∴∠ACE=α-（2α-2β）=2β-α， ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=α-（2β-α）=2α-2β， ∵∠CPD=∠CED-∠ACE， ∴∠CPD=β-（2β-α）=α-β， ∴∠CPD=∠BCE； ii）若E在BA的延长线上， 如图，∵∠ACE=∠CAB-∠CEB， ∴∠ACE=α-2β， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=α+（α-2β）=2α-2β， ∵∠CPD=∠ACE+∠CEP， ∴∠CPD=α-2β+β=α-β， ∴∠CPD=∠BCE， 综上，可知∠CPD=∠BCE。

据专家权威分析，试题“△ABC中，∠BAC=∠ACB。（1）如图，E是AB延长线上一点，连接CE，∠BEC的..”主要考查你对  三角形的外角性质，三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。

考点名称：三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线

• 三角形的中线：
  在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。
  每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
  角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
  三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。
  高线：
  从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
  线段的垂直平分线：
  经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
  

  <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
  巧计方法：点到线段两端距离相等。

• 三角形中线性质定理：
  1、三角形的三条中线都在三角形内。<?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

  2、三角形的三条中线长：

  ma=(1/2)√2b²+2c² -a² ；

  mb=(1/2)√2c² +2a² -b²  ；

  mc=(1/2)√2a² +2b² -c²  。