题文

如图，点O是△ABC的内角平分线的交点，O′是△ABC的外角平分线的交点 求证：（1）∠AOB=90°+ 1 2 ∠C； （2）∠AO′B=90°- 1 2 ∠C．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）如图∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°， 在△AOB中，∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°， ∵AO，BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线， ∴∠CAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA， ∴∠ABO+ 1 2 ∠CAB+ 1 2 ∠ABC=180°， 又∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180° ∴∠AOB= 1 2 ∠C+90°； 证明：（2）O′是△ABC的外角平分线的交点， 则∠O′AB= 1 2 ∠EAB= 1 2 （180°-∠CAB）=90°- 1 2 ∠CAB， ∠ABO′= 1 2 ∠ABF=90°- 1 2 ∠CBA， ∴∠O′AB+∠ABO′=180°- 1 2 （∠CAB+∠CBA） 又∵∠CAB+∠CBA=180°-∠C， ∴∠O′AB+∠ABO′=90°+ 1 2 ∠C， 在△ABO′中利用内角和定理得到： ∠AO′B=180°-（∠O′AB+∠O′BA）=180°-（90°+ 1 2 ∠C）=90°- 1 2 ∠C．

据专家权威分析，试题“如图，点O是△ABC的内角平分线的交点，O′是△ABC的外角平分线的交点..”主要考查你对  三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。