题文

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线。

（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有______； （2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE。请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）中线所在的直线；
（2）设AE与BC相交于点F ∵AB∥CE， ∴∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF 又∵AB=CE， ∴△ABF≌△ECF ∴S梯形ABCD=S四边形AFCD+S△ABF=S四边形AFCD+S△ECF=S△AED 过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图①所示。
（3）能 连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE ∵BE∥AC， ∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等， ∴S△ABC=S△AEC ∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED ∵S△ACD＞S△ABC ， ∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线 作图如图②所示。

据专家权威分析，试题“如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条..”主要考查你对  三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线，三角形的周长和面积，全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线三角形的周长和面积全等三角形的性质

考点名称：三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线

• 三角形的中线：
  在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。
  每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
  角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
  三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。
  高线：
  从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
  线段的垂直平分线：
  经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
  

  <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
  巧计方法：点到线段两端距离相等。

• 三角形中线性质定理：
  1、三角形的三条中线都在三角形内。<?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

  2、三角形的三条中线长：

  ma=(1/2)√2b²+2c² -a² ；

  mb=(1/2)√2c² +2a² -b²  ；

  mc=(1/2)√2a² +2b² -c²  。

  (ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）

  3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

  4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

  5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.

  定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

   

  角平分线线定理：
  定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
  逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
  定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，
  如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC
  注：定理2的逆命题也成立。
  三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

   

  垂直平分线的性质：
  1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。  
  2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。  
  3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。  
  垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

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