题文

如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N。 （1）试说明：FG=（AB+BC+AC）； （2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由； （3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是______。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF， ∴∠BAF=∠BMF， ∴MB=AB， ∴AF=MF， 同理可说明：CN=AC，AG=NG， ∴FG是△AMN的中位线， ∴FG=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC）； （2）图（2）中，FG=（AB+AC-BC）； （3）图（3）中，FG=（AC+BC-AB）； ①如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N， 由（1）中可知，MB=AB ，AF=MF，CN=AC，AG=NG， ∴FG=MN=（BM+CN-BC）=（AB+AC-BC）； ②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N， 同样由（1）中可知，MB=AB ，AF=MF，CN=AC，AG=NG， ∴FG=MN=（CN+BC-BM）=（AC+BC-AB）。

据专家权威分析，试题“如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂..”主要考查你对  三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线

考点名称：三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线

• 三角形的中线：
  在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。
  每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
  角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
  三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。
  高线：
  从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
  线段的垂直平分线：
  经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
  

  <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
  巧计方法：点到线段两端距离相等。

• 三角形中线性质定理：
  1、三角形的三条中线都在三角形内。<?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

  2、三角形的三条中线长：

  ma=(1/2)√2b²+2c² -a² ；

  mb=(1/2)√2c² +2a² -b²  ；

  mc=(1/2)√2a² +2b² -c²  。

  (ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）

  3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

  4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

  5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.

  定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

   

  角平分线线定理：
  定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
  逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。