题文

已知：在△ABC中，∠CAB=2α，且，AP平分∠CAB。 （1）如下图1，若，∠ABC=32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；     答：线段AB，AC与PB之间的数量关系为：（    ）； （2）如下图2，若∠ABC=，点P在△ABC的内部，且使∠CBP=30°，求∠APC的度数（用含α的代数式表示）

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1） AB－AC= PB；   证明：在AB上截取AD，使AD=AC。如下图： ∵AP平分∠CAB， ∴∠1=∠2。 在△ACP和△ADP中，                  ∴△ACP≌△ADP ∴∠C =∠3。 ∵△ABC中，∠CAB==2×21°=42° ，∠ABC=32 °， ∴∠C =180 °－∠CAB－∠ABC =180 °－42 °－32 ° = 106 ° ∴∠3 =106 ° ∴∠4 =180 °－∠3=180 °－106 °=74 °，   ∠5 =∠3－∠ABC=106 °－32 °=74 °。 ∴∠4 =∠5， ∴PB=DB， ∴AB－AC= AB－AD=DB=PB； （2）延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM。如下图：   ∵AP平分∠CAB，∠CAB=α， ∴∠1=∠2=α=α， 在△AMP和△ABP中，              ∴△AMP≌△ABP， ∴PM=PB，∠3 =∠4， ∵∠ABC=60°－α，∠CBP=30°， ∴∠4=(60°－α)－30° =30°－2α， ∴∠3 =∠4 =30°－α， ∵△AMB中，AM=AB， ∴∠AMB=∠ABM =(180°－∠MAB)÷2 =(180°－α)÷2 =90°－α， ∴∠5=∠AMB－∠3= (90°－α)－(30°－α)=60°， ∴△PMB为等边三角形。 ∵∠6=∠ABM－∠ABC = (90°－α)－(60°－α)=30°， ∴∠6=∠CBP， ∴BC平分∠PBM， ∴BC垂直平分PM， ∴CP=CM， ∴∠7 =∠3 = 30°－α， ∴∠ACP=∠7＋∠3=(30°－2α)＋(30°－α)=60°－2α， ∴△ACP中，∠APC=180°－∠1－∠ACP=180°－α－(60°－2α)=120°＋α。

据专家权威分析，试题“已知：在△ABC中，∠CAB=2α，且，AP平分∠CAB。（1）如下图1，若，∠ABC..”主要考查你对  三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线，三角形的内心、外心、中心、重心，全等三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线三角形的内心、外心、中心、重心全等三角形的性质

考点名称：三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线

• 三角形的中线：
  在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。
  每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
  角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
  三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。
  高线：
  从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
  线段的垂直平分线：
  经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
  

  <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
  巧计方法：点到线段两端距离相等。

• 三角形中线性质定理：
  1、三角形的三条中线都在三角形内。<?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

  2、三角形的三条中线长：

  ma=(1/2)√2b²+2c² -a² ；

  mb=(1/2)√2c² +2a² -b²  ；

  mc=(1/2)√2a² +2b² -c²  。

  (ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）

  3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

  4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

  5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.