题文

如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE= 1 2 ED，延长DB到点F，使 FB= 1 2 BD，连接AF． （1）证明：△BDE∽△FDA； （2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）在△BDE和△FDA中， ∵FB= 1 2 BD，AE= 1 2 ED，AD=AE+ED，FD=FB+BD ∴ BD FD = ED AD = 2 3 ，（3分） 又∵∠BDE=∠FDA， ∴△BDE∽△FDA．（5分） （2）直线AF与⊙O相切．（6分） 证明：连接OA，OB，OC， ∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，（7分） ∴△OAB≌△OAC， ∴∠OAB=∠OAC， ∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线， ∴ AB = AC ， ∴AO⊥BC， ∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD， ∴BE∥FA， ∵AO⊥BE知，AO⊥FA， ∴直线AF与⊙O相切．

据专家权威分析，试题“如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=12ED，延..”主要考查你对  三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线

• 三角形的中线：
  在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。
  每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
  角平分线：
  三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
  三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。
  高线：
  从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
  线段的垂直平分线：
  经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
  

  <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
  巧计方法：点到线段两端距离相等。

• 三角形中线性质定理：
  1、三角形的三条中线都在三角形内。<?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

  2、三角形的三条中线长：

  ma=(1/2)√2b²+2c² -a² ；

  mb=(1/2)√2c² +2a² -b²  ；

  mc=(1/2)√2a² +2b² -c²  。

  (ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）