如图,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出-九年级数学

题文

如图,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度;
(2)如果△PGH是直角三角形,试求OG:PG:HG的值;
(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.

题型:解答题  难度:中档

答案

解:(1)当然是GH不变,
重心是三角形中线交点,它把中线分为1:2的比例,
如果中线长度不变,题中的三线段长度也不变,PO是半径,
它是直角三角形OPH的斜边,它的中线等于它的一半;
则GH=OP)=×6)=2;
(2)延长OG交PH于点K,
∵△PGH为Rt△   FG=1,PF=3,
∴PG=2
∴PH=
∴KG=
∴OG=
∴OG:PG:HG=:2:2=:1;
(3)△PGH是等腰三角形有3种可能性,
①当GP=PH时,PH=
②当GP=GH时,PH=0(不存在),
③当PH=GH时,PH=2,
∴PH=或PH=2.

据专家权威分析,试题“如图,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的上,有一个动点P,PH⊥O..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

三角形的内心、外心、中心、重心等腰三角形的性质,等腰三角形的判定勾股定理

考点名称:三角形的内心、外心、中心、重心

  • 三角形的四心定义:
    1、内心:三角形三条内角平分线的交点,即内切圆的圆心。
    内心是三角形角平分线交点的原理:经圆外一点作圆的两条切线,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理:角平分线上点到角两边距离相等)。
    2、外心:是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心。
    外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
    3、中心:三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心,当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心。
    4、重心:重心是三角形三边中线的交点。

  • 三角形的外心的性质:
    1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心;
    2三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合;
    3.锐角三角形的外心在三角形内;
    钝角三角形的外心在三角形外;
    直角三角形的外心与斜边的中点重合。

    在△ABC中
    4.OA=OB=OC=R
    5.∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB,∠COA=2∠CBA
    6.S△ABC=abc/4R

    三角形的内心的性质:
    1.三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心
    2.三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r
    3.r=2S/(a+b+c)
    4.在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2.
    5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
    6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

    三角形的垂心的性质:
    1.锐角三角形的垂心在三角形内;
    直角三角形的垂心在直角顶点上;
    钝角三角形的垂心在三角形外。
    2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或
    者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

    例如在△ABC中
    3. 垂心O关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆圆上。
    4.△ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AO?OD=BO?OE=CO?OF
    5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
    6.△ABC,△ABO,△BCO,△ACO的外接圆是等圆。
    7.在非直角三角形中,过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
    8.三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。
    9.设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。
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