题文

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E 、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF． 求证：（1）△PFD∽△PDC；（2） EP DE = PD DC ．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵BC与圆相切， ∴∠PFD=∠PDC． ∵BF、BD分别于圆相切， ∴∠BFD=∠BDF=45°． ∴∠FPD=45°． ∵PC⊥PF， ∴∠FPD=∠DPC． ∴△PFD∽△PDC． （2）∵AE、AF与圆相切， ∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE， ∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE， ∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE， ∴ AF AD = PF FD 、 AE AD = PE ED 且AE=AF， ∴ PF FD = PE ED ． ∵△PFD∽△PDC， ∴ PF FD = PD DC ． ∴ EP DE = PD DC ．

据专家权威分析，试题“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。
  
  在△ABC中
  4.OA=OB=OC=R
  5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
  6.S△ABC=abc/4R
  
  三角形的内心的性质：
  1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
  2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
  3.r=2S/(a+b+c)
  4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
  5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
  6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
  
  三角形的垂心的性质:
  1.锐角三角形的垂心在三角形内；
  直角三角形的垂心在直角顶点上；
  钝角三角形的垂心在三角形外。
  2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或