题文

定理：图1，如果∠ADB=∠ACB，那么四边形ABCD有外接圆，也叫做A，B，C，D四点共圆．（注：本定理不需要证明） （1）图2，△ABC中，AC=BC，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心（外接圆的圆心，它到三角形三个顶点距离相等），试证明C，E，O，F四点共圆．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法） 如果将问题2中的点C“分离”成两个点，那么就有： （2）图3，在凸四边形ABCD中，AD=BC，点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合），而且DE=BF，直线AC，BD相交于点P，直线EF，BD相交于点Q，直线EF，AC相交于点R．当点E，F分别在线段AD，BC上运动（不与端点重合）时，探究△PQR的外接圆是否经过除点P外的另一个定点？如果是，请给出证明，并指出是哪个定点；如果不是，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵OB=0C， ∴∠OCB=∠OBC， 又∵AC=BC， ∴∠OCB=∠OCA， ∴∠OBC=∠OCA， 在△ECO与△FBO中， OC=OB ∠ECO=∠FBO CE=BF ， ∴△ECO≌△FBO， ∴∠EOC=∠FOB，又∠AOC=∠BOC， ∴∠EOF=∠COB， 又∵EO=OF， ∴∠OEF=∠OCF， ∴C，E，O，F四点共圆； （2）由于是将问题2中的点C“分离”成两个点， 根据图形变换的过程，猜测△PQR的外接圆一定经过线段AC，BD垂直平分线的交点O． 下面给予证明： 显然△ODA≌△OCB， ∴∠OBF=∠ODE， ∴△OBF≌△ODE， ∴OE=OF且∠BOF=∠DOE， ∴∠BOD=∠EOF， ∴△EOF∽△BOD∽△COA， ∴∠OBD=∠OEF=∠OCA， ∴O，B，F，Q四点共圆，O，F，C，R四点也共圆， ∴∠OFB=∠OQB=∠ORP， ∴P，Q，O，R四点共圆，即当点E和F变动时，△PQR的外接圆经过除点P外的另一个定点O．

据专家权威分析，试题“定理：图1，如果∠ADB=∠ACB，那么四边形ABCD有外接圆，也叫做A，B，..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心，点与圆的位置关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心点与圆的位置关系

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。
  
  在△ABC中
  4.OA=OB=OC=R
  5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
  6.S△ABC=abc/4R
  
  三角形的内心的性质：
  1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
  2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
  3.r=2S/(a+b+c)
  4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
  5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
  6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
  
  三角形的垂心的性质:
  1.锐角三角形的垂心在三角形内；
  直角三角形的垂心在直角顶点上；
  钝角三角形的垂心在三角形外。
  2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
  者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
  
  例如在△ABC中
  3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
  4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF
  5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
  6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
  7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
  8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
  9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
  10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
  11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
  12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
  13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。
  14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
  15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
  
  三角形的重心的性质:
  1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
  2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
  3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
  4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
  空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3  纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3  竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
  5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
  6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
  
  三角形旁心的性质:
  1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
  2、每个三角形都有三个旁心。
  3、旁心到三边的距离相等。
  三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

考点名称：点与圆的位置关系

• 点与圆的位置关系:
  由圆的定义可知，点与圆的位置关系有三种：点在圆上，点在圆内，点在圆外。
  点与圆的位置关系转化为点到圆心的距离与半径间的数量关系：